Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，记数列{c_n}的前n项和T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出a₁=2，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…（3分）
即：

an

an-1

=2，…（5分）
∴数列{a_n}为以2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．…（7分）
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，…（9分）
则c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（13分）

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式以及裂项法求解数列的和，考查计算能力．