Question

下列说法：
①命题“?x∈R，使2^x≤3”的否定是“?x∈R，使2^x＞3”；
②函数f（x）=（m²-m-1）x^m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则m=2；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f^′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④函数y=tan(2x+

π

6

)在区间(-

π

3

，

π

12

)上单调递增；
⑤“log₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”成立的充要条件．
其中说法正确的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：根据含有量词的命题的否定，可得①是真命题；根据幂函数的定义、图象和性质，得②是真命题；通过举出反例说明，得到③是假命题；根据正切函数的单调性和函数图象的变换，可得④是真命题；根据指、对数函数的单调性和充分必要条件的含义，得到⑤是假命题．

解答：解：对于①，命题“?x∈R，使2^x≤3”是一个全称性命题，
它的否定应该是改量词为“存在”，再否定结论，得①是真命题；
对于②，若函数f（x）=（m²-m-1）x^m是幂函数，则m²-m-1=1，解之得m=2或-1
∴幂函数为f（x）=x²或f（x）=x^-1，
结合函数f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，得m是正数，只有m=2符合，故②是真命题；
对于③，命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f^′（x₀）=0”的否命题是
“函数f（x）在x=x₀处没有极值，则f^′（x₀）≠0”，
以函数y=x³为例，它在x=0处没有极值，但f^′（x₀）=0仍然成立，故③是假命题；
对于④，令-

π

2

+kπ＜2x+

π

6

＜

π

2

+kπ，k∈Z．得-

π

3

+kπ＜x＜

π

6

+kπ，k∈Z．
取k=0，得区间（-

π

3

，

π

6

），刚好包含区间(-

π

3

，

π

12

)，
因此，函数y=tan(2x+

π

6

)在区间(-

π

3

，

π

12

)上单调递增；
对于⑤，由“log₂x＞log₃x”，可得x＞1，得不出“2^x＞3^x”成立，
反之，当“2^x＞3^x”成立，可得x＜0，显然“log₂x＞log₃x”不成立
“log₂x＞log₃x”是“2^x＞3^x”的既不充分也不必要条件，故⑤是假命题．
故答案为：①②④

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了含有量词的命题否定、函数的极值与单调性、三角函数的图象与性质和指对数函数的图象与性质等知识，属于基础题．