Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+2?（a≠-1），若f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若函数g（x），f（x）在区间（-∞，?1]上均是减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：首先根据题意推断出h（x）和g（x），进而根据g（x）的单调性推断出a+1＜0求得a的范围，进而根据f（x）的单调性和二次函数的性质求得a的范围，最后综合可得答案．

解答：解：显然h（x）=x²+2 是偶函数，g（x）=（a+1）x 在a≠-1时是奇函数，而且f（x）=g（x）+h（x）．
要让g（x）在区间（-∞，1]上是减函数，只要斜率（a+1）＜0，即a＜-1．要让f（x）在区间（-∞，1]上是减函数，
只要-

1

2

（a+1）≥1  （这是因为f（x）开口朝上，对称轴 x=-

1

2

（a+1） 自然要在1的右边才能使f（x）在（-∞，1]上是减函数），即a≤-3．综上，a的取值范围是a≤-3．
故答案为a≤-3

点评：本题主要考查了奇偶性和单调性的应用．考查了对函数奇偶性和单调性概念的理解和运用．