Question

求经过两圆x²+y²-2x-3=0与x²+y²-4x+2y+3=0的交点，且圆心在直线2x-y=0上的圆的方程．

Answer 1

分析：联解两圆方程得交点为A（1，-2）和B（3，0），从而得到AB的中垂线方程y=-x+1，可得所求圆的圆心为直线y=-x+1与直线2x-y=0的交点，解出圆心坐标为C(

1

3

，

2

3

)，由两点的距离公式算出圆的半径，即可得到所求圆的方程．

解答：解：由

x 2+y 2-2x-3=0 x 2+y 2-4x+2y+3=0

，联解得

x=1 y=-2

或

x=3 y=0

∴两圆的交点为A（1，-2）和B（3，0），
因此，所求圆的圆心C在线段AB的中垂线y=-x+1上，
又∵圆心C在y=2x上，
∴解

y=-x+1 y=2x

得x=

1

2

或x=

2

3

，可得圆心坐标为C(

1

3

，

2

3

)．
半径r=

(1- 1 3 )2+(-2- 2 3 )2

=

2 17

3

因此，所求圆的方程为（x-

1

3

）²+（y-

2

3

）²=

68

9

，即3x²+3y²-2x-4y-21=0．

点评：本题求经过两圆交点，并且圆心在定直线的圆的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．