Question

8．已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图是全等的等腰直角三角形，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积之比为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$π
• D． $\frac{\sqrt{3}}{8}$π

Answer 1

分析 三视图可知该几何体为一个四棱锥，从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可将该四棱锥补成正方体，去求解几何体外接球体积，求出几何体的体积，即可得出结论．

解答 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD，
其中SA⊥面ABCD．面ABCD为底面边长为1的正方形，且SA=1，
将此四棱锥补成正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=$\sqrt{3}$．
所以几何体外接球体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$，
因为几何体的体积为$\frac{1}{3}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$，
所以这个几何体外接球体积与该几何体的体积之比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$π．
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力，将四棱锥补成正方体是关键．