Question

（2012•黄浦区二模）已知a、b＞0，则下列不等式中不一定成立的是（　　）

• A．

  a

  b

  +

  b

  a

  ≥2
• B．（a+b）（

  1

  a

  +

  1

  b

  ）≥4
• C．

  2ab

  a+b

  ≥

  ab

• D．a+b+

  1

  ab

  ≥2

  2

Answer 1

分析：选项A直接运用基本不等式判断；
选项B先采用多项式乘多项式展开，后运用基本不等式；
选项C可用逆推法，假设其正确，得出与已知的公式矛盾；
选项D两次运用基本不等式，先由a+b≥2

ab

，再把2

ab

+

1

ab

第二次运用基本不等式．

解答：∵a、b＞0，∴

a

b

＞0，

b

a

＞0，∴

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2（当且仅当a=b时取“=”），故A正确；
(a+b)(

1

a

+

1

b

)=1+

a

b

+1+

b

a

=2+

a

b

+

b

a

，∵a、b＞0，∴

a

b

+

b

a

≥2（当且仅当a=b时取“=”），∴(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4，故B正确；
若

2ab

a+b

≥

ab

成立，则

2 ab

a+b

≥1，，∵a、b＞0，∴2

ab

≥a+b，与基本不等式矛盾，故C不正确；
∵a、b＞0，∴a+b+

1

ab

≥2

ab

+

1

ab

≥2

2 ab• 1 ab

=2

2

（当且仅当a=b=

1

4

时“=”成立），故D正确．
故选C．

点评：本题考查了基本不等式运用，运用过程中一定要注意基本不等式的使用条件，即两项均为正值，同时注意等号成立的条件．