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精英家教网在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足
AM
BM
=-2
,求点M的轨迹方程.
分析:(Ⅰ)直接利用△F1PF2为等腰三角形得|PF2|=|F1F2|,解其对应的方程即可求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)先把直线方程与椭圆方程联立,求得A,B两点的坐标,代入
AM
BM
=-2
,即可求点M的轨迹方程.
解答:解:(Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
由题得|PF2|=|F1F2|,即
(a-c)2+b2
=2c,整理得2(
c
a
)
2
+
c
a
-1=0,得
c
a
=-1(舍),或
c
a
=
1
2

所以e=
1
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2c,b=
3
c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线方程为y=
3
(x-c).
A,B的坐标满足方程组
3x2+4y2=12c2
y=
3
(x-c)

消y并整理得5x2-8xc=0,
解得x=0,x=
8
5
c
,得方程组的解为
x=0
y=-
3
c
x=
8
5
c
y=
3
3
5
c

不妨设A(
8
5
c,
3
3
5
c),B(0,-
3
c).
设点M的坐标为(x,y),则
AM
=(x-
8
5
c,y-
3
3
5
c),
BM
=(x,y+
3
c)
由y=
3
(x-c)得c=x-
3
3
y  ①,
AM
BM
=-2即(x-
8
5
c)x+(y-
3
3
5
c)(y+
3
c)=-2.
将①代入化简得18x2-16
3
xy-15=0,?y=
18x2-15
16
3
x
代入①化简得c=
10x2+5
16x
>0.所以x>0,
因此点M的轨迹方程为18x2-16
3
xy-15=0  (x>0).
点评:本题主要考查椭圆的方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)若F为椭圆的右焦点,点P在圆C上,且满足PF=4,求点P的坐标.

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3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

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(2013•泰州三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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