Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-中，，D，E分别为BC，的中点，的中点，四边形是边长为6的正方形.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）证明：连结，与交于O点，连结OD.
因为O，D分别为和BC的中点，
所以OD//。
又OD， ，
所以.…………………………4分
（2）证明：在直三棱柱中，
，
所以.
因为为BC中点，
所以又，
所以.
又
因为四边形为正方形，D，E分别为BC，的中点，
所以.
所以.     所以
                   ………………………………8分
（3）解：如图，以的中点G为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，.
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量。
      
设为平面的一个法向量，

由
令，则.
所以.
从而.
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.……………………12分

略