Question

我们知道，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，因此可以判断一点与一个圆的位置关系——当该点到圆心的距离等于半径时，该点在该圆上；当该点到圆心的距离小于半径时，该点在该圆内；当该点到圆心的距离大于半径时，该点在该圆上外．你能根据椭圆的定义来判断一个点相对于一个椭圆的位置关系吗？如果能，应该如何判断？

Answer 1

答案：
解析：

分析：根据椭圆的定义，平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，类比一个点与圆的位置关系的判断可知． 　　解：当一个点到一个椭圆的两个焦点的距离的和等于2a时，该点位于这个椭圆上；当一个点到一个椭圆的两个焦点的距离的和小于2a时，该点位于这个椭圆内；当一个点到一个椭圆的两个焦点的距离的和大于2a时，该点位于这个椭圆外． 　　同样，直线与圆的位置关系的判断方法是：直线与圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，当这个一元二次方程的Δ＜0，相离；Δ＝0，相切；Δ＞0，相交．还可以依据圆心到直线的距离d与其半径r间的大小关系来判断直线与圆的位置关系：当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离；当d＜r时，直线与圆相交．你能由此进一步得到判断直线与椭圆的位置关系的方法吗？ 当焦点F1、F2在直线l的异侧时，PF1＋PF2≥MF1＋MF2(其中点P是直线l上任意一点，M是直线l与直线F1F2的交点)，即直线l上任意点到两焦点F1、F2的距离和最小是MF1＋MF2＝F1F2(其中点F1是点F1关于直线l的对称点)，若1F2＞2a，则相应直线l与椭圆相离；若1F2＝2a，则相应直线l与椭圆相切；若1F2＜2a，则相应直线l与椭圆相交． 　　同理，当焦点F1、F2在直线l的同侧时， 　　1F2＜M＋F2M＝F1M＋F2M＝F1F2＝2c＜2a， 　　综上所述，设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦点F1、F2，直线l：Ax＋By＋C＝0，点F1是点F1关于直线l的对称点，则有1F2＞2a直线l与椭圆C相离；1F2＝2a直线l与椭圆C相切；1F2＜2a直线l与椭圆C相交．