Question

11．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．
（1）CD⊥面GEF．
（2）AG=1．
（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．
（4）∠EAD=60°．

Answer 1

分析 由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．

解答 解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，
∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，
∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；
在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，
∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；
在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△EAC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；
在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．