Question

16．如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点，记CD=x，V（x）表示四棱锥F-ABCD的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）求V（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于FA⊥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，可得FA⊥平面ABCD．由于BC=2，BD⊥CD，CD=x，可得DB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．∴S_{平行四边形ABCD}=2S_△BCD．即可得出V（x）=$\frac{1}{3}{S}_{平行四边形ABCD}•FA$．
（2）由基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵四边形ADEF为正方形，∴FA⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴FA⊥平面ABCD．
∵BC=2，BD⊥CD，CD=x，
∴DB=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2）．
∴S_{平行四边形ABCD}=2S_△BCD=2×$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$=$x\sqrt{4-{x}^{2}}$．
∴V（x）=$\frac{1}{3}{S}_{平行四边形ABCD}•FA$=$\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}×2$=$\frac{2}{3}x\sqrt{4-{x}^{2}}$．（0＜x＜2）．
（2）由基本不等式的性质可得：V（x）$≤\frac{2}{3}$$•\frac{{x}^{2}+（4-{x}^{2}）}{2}$=$\frac{4}{3}$，当且仅当$x=\sqrt{4-{x}^{2}}$，即x=$\sqrt{2}$时取等号．
∴V（x）的最大值是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．