Question

A：（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，由θ=0，θ=

π

3

，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是

3- 3

4

．
B：（几何证明选讲选做题）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=30°，则圆O的面积等于

16π

．
C：（不等式选讲）要使关于x的不等式|x-1|+|x-1|≤3在实数范围内有解，则a的取值范围是

[-2，4]

．

Answer 1

分析：A：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标中点的坐标、直线的方程求解成的图形的面积即可．
B：连接辅助线，根据圆周角是30°，得到对应的圆心角是60°，根据圆的半径相等，得到三角形是一个等边三角形，求出半径的长度，根据圆的面积公式，得到结果．

解答：解：A：曲线ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：
x+y-1=0．它与x轴的交点为B（1，0）．
曲线θ=

π

3

的直角坐标方程分别为：

3

x-y=0．
它们的交点坐标为A（

1

3 +1

，

3

3 +1

），
∴由三条曲线 θ=0，θ=

π

3

，ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形如图所示．
∴S=

1

2

OB×h=

1

2

×1×

3

3 +1

=

3- 3

4

．
故答案为：

3- 3

4

．
B：解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AoB=60°，
∴△AOB是一个等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴⊙O的面积是16π
故答案为16π．

点评：A：本小题考查简单曲线的极坐标方程、点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
B：本小题考查圆周角的性质，考查等边三角形，考查圆的面积，是一个等边三角形，在解题时主要做法是构造等边三角形．