Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

证明：（1）∵AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又∵C₁C∥AA₁，AA₁⊥底面ABC，∴C₁C⊥底面ABC，∴AC⊥CC₁ ．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁ ．
而BC₁?平面BCC₁B₁，∴AC⊥BC₁ ．
（2）设BC₁∩B₁C=O，则O为BC₁的中点，连接OD，
∵D为AB的中点，∴OD∥AC₁，
又∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
分析：（1）利用勾股定理证明AC⊥BC，证明C₁C⊥底面ABC，可得AC⊥CC₁ ，由线面垂直的判定定理证得AC⊥平面BCC₁B₁ ，从而证得AC⊥BC₁．
（2）设BC₁∩B₁C=O，由三角形的中位线性质可得OD∥AC₁，从而利用线面平行的判定定理证明AC₁∥平面CDB₁．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直、线面平行的方法，空间中直线与直线间的位置关系，属于中档题．