Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，若BF⊥BA，则cos2∠OBF=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 由题意知F（-c，0），A（a，0），B（0，b）；从而写出$\overrightarrow{BF}$=（-c，-b），$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），从而可得-ac+a²-c²=0，从而可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；即sin∠OBF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，从而利用二倍角公式即可．

解答 解：由题意得，
F（-c，0），A（a，0），B（0，b）；
∵$\overrightarrow{BF}$=（-c，-b），$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），
∵BF⊥BA，
∴$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{BA}$=-ac+b²=0，
∴-ac+a²-c²=0，
解得，a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$c，
故$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故sin∠OBF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故cos2∠OBF=1-2•（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=$\sqrt{5}$-2，
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了椭圆的性质的应用及平面向量的应用，同时考查了三角恒等变换的应用．