Question

9．已知函数y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若该定点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为2．

Answer 1

分析 函数y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2），该定点在一次函数y=mx+n的图象上，可得2=m+n．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（1，2），
该定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴2=m+n．
其中m，n＞0，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{m}{n}+\frac{n}{m}）$$≥\frac{1}{2}（2+2\sqrt{\frac{m}{n}×\frac{n}{m}}）$=2，
当且仅当m=n=1时取等号．
则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．