Question

在从空间中一点P出发的三条射线PA，PB，PC上分别取点M，N，Q，使PM=PN=PQ=1，且∠BPC=90°，∠BPA=∠CPA=60°，则三棱锥P-MNQ的外接球的体积为

 

．

Answer 1

分析：由题意判断QN的中点到A、M、N、Q距离相等，求出外接圆的半径，即求解外接球的体积．

解答：解：从空间中一点P出发的三条射线PA，PB，PC上分别取点M，N，Q，使PM=PN=PQ=1，且∠BPC=90°，∠BPA=∠CPA=60°，
∴△PMQ，△PMN都是边长为1的正三角形，MN=MQ=1，△NPQ是直角三角形，∴NQ=

2

，
△MNQ是等腰直角三角形，NQ的中点为O，∴OM=OQ=ON=OP=

2

2

，
O是外接球的球心，三棱锥P-MNQ的外接球的体积为：

4π

3

(

2

2

)3=

2

3

π．
故答案为：

2

3

π．

点评：本题考查棱锥的外接球的体积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．