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12.已知函数f(x)=a(x-$\frac{1}{x}$)-2lnx(a∈R).
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)+$\frac{a}{x}$,求函数y=g(x)的单调区间.

分析 (1)将a=1的值代入,求出函数的导数,计算f(1),f′(1)的值,代入切线方程即可;
(2)求出g(x)的导数,通过讨论a的范围,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.

解答 解:(1)a=1时,f(x)=x-$\frac{1}{x}$-2lnx,(x>0),
f′(x)=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$,
f(1)=0,f′(1)=1+1-2=0,
∴切线斜率是0,过(1,0),
故切线是x轴;
(2)g(x)=f(x)+$\frac{a}{x}$=ax-2lnx,(x>0),
g′(x)=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$,
a≤0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)递增,
a>0时,令g′(x)>0,解得:x>$\frac{2}{a}$,
令g′(x)<0,解得:0<x<$\frac{2}{a}$,
∴g(x)在(0,$\frac{2}{a}$)递减,在($\frac{2}{a}$,+∞)递增.

点评 本题考查了曲线的切线方程问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题.

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