Question

已知数列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-pa_n}为等比数列；
（2）数列{a_n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k为常数，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=pⁿ+λqⁿ可得a_n+1-pa_n的表达式，整理可得

an+2-pan+1

an+1-pan

为常数，进而可判断数列{a_n+1-pa_n}为等比数列．
（2）取数列{a_n}的连续三项a_n，a_n+1，a_n+2把a_n=pⁿ+λqⁿ代入a_n+1²-a_na_n+2整理可知结果不为0，进而可判断a_n+1²≠a_na_n+2，即数列{a_n}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ整理得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，设f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x则可知f（x）为减函数，故可判定f（x）=1的解只有一个，从而当且仅当n=1，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ成立，同样的道理可证当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；当k=2时，B∩C={（1，5）}，当k=4时，B∩C={（2，25）}．

解答：解：（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，
∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴

an+2-pan+1

an+1-pan

=q为常数
∴数列{a_n+1-pa_n}为等比数列
（2）取数列{a_n}的连续三项a_n，a_n+1，a_n+2（n≥1，n∈N^*），
∵a_n+1²-a_na_n+2=（pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹）²-（pⁿ+λqⁿ）（pⁿ⁺²+λqⁿ⁺²）=-λpⁿqⁿ（p-q）²，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpⁿqⁿ（p-q）²≠0，即a_n+1²≠a_na_n+2，
∴数列{a_n}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）当k=1时，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+1＜5ⁿ，此时B∩C=∅；
当k=3时，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+3ⁿ=2•3ⁿ为偶数；而5ⁿ为奇数，此时B∩C=∅；
当k≥5时，3ⁿ+kⁿ＞5ⁿ，此时B∩C=∅；
当k=2时，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，发现n=1符合要求，
下面证明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
设f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x，则f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x是R上的减函数，
∴f（x）=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
即3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，此时B∩C={（1，5）}；
当k=4时，3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，发现n=2符合要求，
下面同理可证明唯一性（即只有n=2符合要求）．
从而当且仅当n=2时(

3

5

)n+(

4

5

)n=1，
即3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，此时B∩C={（2，25）}；
综上，当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；
当k=2时，B∩C={（1，5）}，
当k=4时，B∩C={（2，25）}．

点评：本题主要考查了等比数列的确定和集合的相关知识．考查了学生分析和运算能力．