Question

设f(x)=,其中a为正实数.

(1)当a=时,求f(x)的极值点.

(2)若f(x)为[,]上的单调函数,求a的取值范围.

 

Answer 1

(1) x1=是极大值点,x2=是极小值点 (2) 0<a≤1或a≥

【解析】f'(x)=.

(1)当a=时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0x1=,x2=,则

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴x1=是极大值点,x2=是极小值点.

(2)记g(x)=ax2-2ax+1,则

g(x)=a(x-1)2+1-a,

∵f(x)为[,]上的单调函数,

则f'(x)在[,]上不变号,

∵>0,

∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈[,]恒成立,

又g(x)的对称轴为x=1,故g(x)的最小值为g(1),最大值为g().

由g(1)≥0或g()≤00<a≤1或a≥,

∴a的取值范围是0<a≤1或a≥.