Question

1．设函数f（x）=x²+ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式；
（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[-1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．
（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[-1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）求出f（x）的对称轴方程，由题意可得f（x）=0在[-1，1]有两个不等的实根，即有△＞0，f（-1）≥0，f（1）≥0，-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅲ）由题意可得f（x）=0在[-1，1]有一个实根，即有△=a²-4（a+1）=0，或f（-1）f（1）≤0，解不等式可得所求范围，注意检验等号成立的条件．

解答 解：（Ⅰ）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，
对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
当a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上递减，则g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
当-2＜a≤2时，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，则g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上递增，则g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）函数f（x）=x²+ax+a+1，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
由题意可得f（x）=0在[-1，1]有两个不等的实根，
即有$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（a+1）＞0}\\{f（-1）=1-a+a+1≥0}\\{f（1）=2（1+a）≥0}\\{-1＜-\frac{a}{2}＜1}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞2+2\sqrt{2}或a＜2-2\sqrt{2}}\\{a≥-1}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜2-2$\sqrt{2}$；
（Ⅲ）函数f（x）=x²+ax+a+1，
由题意可得f（x）=0在[-1，1]有一个实根，
即有△=a²-4（a+1）=0，或f（-1）f（1）≤0，
解得a=2$±2\sqrt{2}$，或a≤-1，
当a=2$±2\sqrt{2}$，f（x）=0，可得x=-（1+$\sqrt{2}$）（舍去），
或-1+$\sqrt{2}$∈[-1，1]；
当a=-1时，f（x）=x²-x=0，解得x=0或1（舍去），
综上可得a的范围是a＜-1或a=2-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．