【题目】已知
、
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是他们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【解析】
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得
4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos
，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，
化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值.
设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+
）（
）≥（
）2
故答案为：
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【题目】设递增数列
共有
项，定义集合
，将集合
中的数按从小到大排列得到数列
；
（1）若数列共有4项，分别为
，
，
，
，写出数列的各项的值；
（2）设是公比为2的等比数列，且
，若数列的所有项的和为4088，求
和的值；
（3）若
，求证：为等差数列的充要条件是数列恰有7项；
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【题目】给出如下四个命题：
①“
”是“
”的充分而不必要条件；
②命题“若
，则函数
有一个零点”的逆命题为真命题；
③若
是
的必要条件，则
是
的充分条件；
④在
中，“
”是“
”的既不充分也不必要条件．
其中正确的命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
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【题目】若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组 | 频数 | 频率 |
[-3, -2) |
| 0.10 |
[-2, -1) | 8 |
|
（1,2] |
| 0.50 |
（2,3] | 10 |
|
（3,4] |
|
|
合计 | 50 | 1．00 |
（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。
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【题目】已知函数
（
为实数，
，
）.
（1）当函数
的图象过点
，且方程
有且只有一个根，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，当
时，
是单调函数，求实数
的取值范围；
（3）若
，当
，
，
，且函数为偶函数时，试判断
能否大于
？
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【题目】某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：
质量指标值M |
|
|
|
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01）
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