Question

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为集合A，记A中的元素个数为a_n，则使

an+49

n

为最小时的n是（　　）

A．7

B．9

C．10

D．13

Answer 1

分析：由题意易得a_n，进而可得

an+49

n

=

n

2

+

49

n

+

1

2

，由函数f（x）=

x

2

+

49

x

+

1

2

的单调性可得答案．

解答：解：根据题意：x∈[n-1，n）时，[x]=n-1，
∴x∈[n-1，n）时，[x[x]]=（n-1）²
∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，2，3，…，n
∴a_n=1+2=3+…+n=

n(n+1)

2

，∴

an+49

n

=

n

2

+

49

n

+

1

2

，
构造函数f（x）=

x

2

+

49

x

+

1

2

，f′（x）=

1

2

-

49

x2

，
令

1

2

-

49

x2

＞0，可得x＞

98

，
故函数f（x）在（1，

98

）单调递减，（

98

，+∞）单调递增，
故当n=9时，

n

2

+

49

n

+

1

2

=

94

9

，当n=10时，

n

2

+

49

n

+

1

2

=

52

5

，
而

94

9

＞

52

5

，故当n=10时，

an+49

n

取最小值
故选C

点评：本题考查新定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．