分析:(1)利用向量加法的三角形法则的推广,及已知条件①
=且
n+1=
+
;②
=3且
=
()n ×3.得到
及
的坐标;
(2)设A
nA
n+1的所在的直线交x轴于点p,结合图形表示出四边形A
nB
nB
n+1A
n+1的面积是a
n,
(3)求出
an-an+1= (n-4)×()n-1,推广对n的讨论得到a
1-a
2<0,a
2-a
3<0,a
3-a
4<0.a
4-a
5=0,a
5-a
60,
a
6-a
7>0,求出数列中最大值为
a4=a5=5+,求出M.
解答:解:(1)
=++…+=
+(n-1)(+)=(n-1)+n=(n-1,n).
=++…+=
3+()1×3+()2×3+…+()n-1×3=
×3=(9-9×()n,0).
(2)设A
nA
n+1的所在的直线交x轴于点p,则有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=[10-9×()n+1]×(n+1)-[10-9×()n]×n=
5+(n-2)×()n-1.
(3)
an-an+1=[5+3(n-2)×()n-1]-[5+3(n-1)×()n]=
3×()n-1[(n-2)-(n-1)×()]=(n-4)×()n-1.
∴a
1-a
2<0,a
2-a
3<0,a
3-a
4<0.a
4-a
5=0,a
5-a
6>0,a
6-a
7>0,等等.
即在数列{a
n}中,
a4=a5=5+是数列的最大项,所以存在最小的自然数M=6,对一切n∈N
*,都有a
n<M成立.
点评:本题考查解决数列的问题关键是求出数列的通项,根据通项的特点,选择合适的方法来解决,在高考题中数列出现在解答题中,属于难题.