Question

（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=

3

sinxcos(x+

π

3

)+

3

4

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为

3

2

sin(2x+

π

3

)，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（A）=0，求出A=

π

3

或A=

5π

6

，再由三角形中大边对大角得A=

π

3

，由正弦定理求得sinB=1，则B=

π

2

，C=

π

6

，由S=

1

2

absinC求得结果．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)+

3

4

=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

=

3

4

sin2x+

3

4

cos2x=

3

2

sin(2x+

π

3

)…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z． …（6分）
（2）∵f（A）=0，∴

3

2

sin(2A+

π

3

)=0，解得A=

π

3

或A=

5π

6

，又a＜b，故A=

π

3

．…（8分）
由

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=1，则B=

π

2

，C=

π

6

，…（10分）
所以S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理，二倍角公式，已知三角函数值求角的大小，正弦函数的单调性，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．