Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝2.当n≥2时，S_n－1＋1，a_n，S_n＋1成等差数列．
(1)求证：{S_n＋1}是等比数列；
(2)求数列{na_n}的前n项和T_n.

Answer 1

（1）见解析
（2）T_n＝

解：(1)证明：∵S_n－1＋1，a_n，S_n＋1成等差数列，
∴2a_n＝S_n＋S_n－1＋2(n≥2)．
∴2(S_n－S_n－1)＝S_n＋S_n－1＋2，即S_n＝3S_n－1＋2，
∴S_n＋1＝3(S_n－1＋1)(n≥2)．
∴{S_n＋1}是首项为S₁＋1＝3，公比为3的等比数列．
(2)由(1)可知S_n＋1＝3ⁿ，∴S_n＝3ⁿ－1.
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2×3^n－1.
又a₁＝2，∴a_n＝2×3^n－1(n∈N^*)．na_n＝2n·3^n－1
∴T_n＝2＋4×3＋6×3²＋…＋2(n－1)×3^n－2＋2n×3^n－1，①
3T_n＝2×3＋4×3²＋6×3³＋…＋2(n－1)×3^n－1＋2n×3ⁿ，②
由①－②得，
－2T_n＝2＋2×3＋2×3²＋…＋2×3^n－1－2n×3ⁿ＝－2n×3ⁿ＝3ⁿ－1－2n×3ⁿ，
∴T_n＝.