Question

设P是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为

8，12

．

Answer 1

分析：由椭圆的方程可求得其焦点坐标F₁（-4，0），F₂（4，0），而两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心分别为两焦点，由于点P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上任意一点，|PF₁|+|PF₂|=10，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF₁|+|PF₂|-2；|PM|+|PN|的最大值为|PF₁|+|PF₂|+2；问题可解决．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1，∴其焦点坐标为F₁（-4，0），F₂（4，0），
∴两圆：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心分别为F₁（-4，0），F₂（4，0），
又点P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上任意一点，
∴|PF₁|+|PF₂|=10，
由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF₁|+|PF₂|-2=8；
|PM|+|PN|的最大值为|PC|+|PD|=|PF₁|+|PF₂|+2=12；
故答案为：8，12．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，关键在于灵活运用椭圆的定义，着重考查数形结合的思想与分析转化的数学思想，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于难题．