Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率

3

3

，长轴长为6，0为坐标原点．f₁，F₂分别为椭圆的左，右焦点．
（1）求椭圆c的方程；
（2）若P为椭圆C上的一点，直线PF₂交椭圆于另一点Q，试问是否存在P点使|PF₁|=|PQ|，若存在求△PF₁Q的面积；否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率

3

3

，推出a与c的关系，根据长轴长为6，求出a的值，从而求出椭圆c的方程；
（2）P为椭圆C上的一点，直线PF₂交椭圆于另一点Q，假设存在P点使|PF₁|=|PQ|，利用余弦定理求出p点的横坐标，从而进行判断求解；

解答：解：（1）由题意知，2a=6，所以a=3，又e=

3

3

，
得c=

3

，
所求方程为

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）设|PF₂|=x，则|PF₁|=6-x，
|F₂Q|=6-2x，|F₁Q|=2x，
|F₁F₂|=2

3

，cos∠F₁F₂P=

12+x2-(6-x)2

2×2 3 x

，
cos∠F₁F₂Q=

12+(6-2x)2-4x2

2×2 3 (6-2x)

，
由cos∠F₁F₂P+cos∠F₁F₂Q=0，
化简得（x-2）（2x-3）=0，解得x=2或x=

3

2

，
当x=2时，|PF₁|=4，|PQ|=4，|FQ|=4，易得S_△PF1Q=4

3

；
当x=

3

2

时，|PF₁|=|PQ|=

9

2

，|F₁Q|=3，易得S_△PF1Q=

9 2

2

；

点评：此题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆离心率的应用，第二问是一个存在性问题，我们可以假设存在P点使|PF₁|=|PQ|，求出P点的坐标进行求解，此题是一道中档题；