Question

设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x²=8（y-b），如图所示，过点F(0，b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁，
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

解：（1）由得，
当y=b+2得x=±4，
∴G点的坐标为(4，b+2)，，
过点G的切线方程为y-（b+2）=x-4即y=x+b-2，
令y=0得x=2-b，
∴F₁点的坐标为（2-b，0），
由椭圆方程得F₁点的坐标为（b，0），
∴2-b=b即b=1，
即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，
∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个，
同理∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个。
若以∠PAB为直角，设P点坐标为，A、B两点的坐标分别为和，
，
关于x²的二次方程有一大于零的解，
∴x有两解，即以∠PAB为直角的Rt△ABP有两个，
因此抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形。