Question

20．等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，若log₃[$\frac{1}{2}$a_n（S_4m+1）]=9，则$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$的最小值是2.5．

Answer 1

分析 根据等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，可得a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，由log₃[$\frac{1}{2}$a_n•（S_4m+1）]=9，可得n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，前n项和为S_n，
∴a_n=2•3^n-1；S_n=3ⁿ-1，
∵log₃[$\frac{1}{2}$a_n•（S_4m+1）]=9，
∴（n-1）+4m=9，
∴n+4m=10，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$=$\frac{1}{10}$（n+4m）（ $\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$）=$\frac{1}{10}$（17+$\frac{4n}{m}+\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{10}$（17+8）=2.5，
当且仅当m=n=2时取等号，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{4}{m}$的最小值是2.5．
故答案为：2.5．

点评 本题考查等比数列的通项与性质，考查对数运算，考查基本不等式，确定n+4m=3，进而利用“1”的代换，结合基本不等式是关键，属于中档题．