Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）若cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值；
（2）由周期公式可求ω，求得函数解析式，根据正弦函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；

解答 解：（1）∵cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$cos2φ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×$（sinφ-cosφ）×（sinφ+cosφ）=$\frac{1}{2}$，
∴整理可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ-$\frac{1}{2}$cos2φ=sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∴解得：2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$，2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$．
（2）∵φ=$\frac{π}{6}$，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，即：T=2×$\frac{π}{2}$=$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；

点评 此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．