Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$+alnx．
（1）若a＞0且曲线f（x）在点（2a，f（2a））处的切线过原点，求a的值；
（2）若函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
（3）若a=1，求证：ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得a；
（2）求出导数，对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，判断导数的符号，即可得到所求范围；
（3）求出a=1的导数，求出增区间，可得lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有ln$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，再由累加法，结合对数的运算性质，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$+alnx的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
曲线f（x）在点（2a，f（2a））处的切线斜率为k=$\frac{2{a}^{2}-{a}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
由切线经过原点，可得$\frac{\frac{{a}^{2}}{2a}+aln（2a）}{2a}$=$\frac{1}{4}$，
解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）由f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，x＞0，
当a=0时，f′（x）=0，f（x）为常数函数，成立；
当a＞0时，x＞a时，f′（x）＞0，f（x）递增，
0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）递减．满足条件；
当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，布满足条件．
综上可得，a≥0；
（3）证明：由f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
即有f（x）＞f（1）=1，
则lnx＞1-$\frac{1}{x}$，（x＞1）
令x=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，即有ln$\frac{n+1}{n}$＞1-$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{n+1}$，
则ln2＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，
即有ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
即为ln（2•$\frac{3}{2}$…$\frac{n+1}{n}$）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$，
则有ln（n+1）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$（n∈N₊）

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查不等式的证明：累加法，考查运算能力，属于中档题．