分析 (1)由题意及正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期T,由周期公式可求ω,由函数f(x)关于直线$x=\frac{π}{4}$对称,可得$φ=\frac{π}{4}+kπ,k∈Z$,结合范围$-\frac{π}{2}<φ<\frac{π}{2}$,即可解得φ的值.
(2)由(1)得$sin(α+\frac{π}{4})=-\frac{4}{5}$,由$α∈(-\frac{3π}{4},-\frac{π}{4})$,得$α+\frac{π}{4}∈(-\frac{π}{2},0)$.可求$cos(α+\frac{π}{4})=\frac{3}{5}$,利用两角差的正弦函数公式即可求值得解.
解答 解:(1)因为直线$x=\frac{π}{4}$、$x=\frac{5π}{4}$是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,
所以,函数的最小正周期T=2×$(\frac{5π}{4}-\frac{π}{4})$=2π,从而$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π}=1$,
因为函数f(x)关于直线$x=\frac{π}{4}$对称.
所以$\frac{π}{4}+φ=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$,即$φ=\frac{π}{4}+kπ,k∈Z$.…(5分)
又因为$-\frac{π}{2}<φ<\frac{π}{2}$,
所以$φ=\frac{π}{4}$.…(6分)
(2)由(1),得$f(x)=sin(x+\frac{π}{4})$.由题意,$sin(α+\frac{π}{4})=-\frac{4}{5}$.…(7分)
由$α∈(-\frac{3π}{4},-\frac{π}{4})$,得$α+\frac{π}{4}∈(-\frac{π}{2},0)$.
从而$cos(α+\frac{π}{4})=\frac{3}{5}$.…(8分)
$sinα=sin[(α+\frac{π}{4})-\frac{π}{4}]=sin(α+\frac{π}{4})cos\frac{π}{4}-cos(α+\frac{π}{4})sin\frac{π}{4}$,…(10分)
=$-\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$.…(12分)
点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,周期公式,两角差的正弦函数公式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 110 | B. | 116 | C. | 118 | D. | 120 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 60° | C. | 30°或60° | D. | 60°或120° |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {1,4} | B. | {1,3} | C. | {1,3,4} | D. | {0,1,3,4} |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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