【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:(1)根据直线与x轴相切确定圆心位置,再根据两圆外切建立等量关系求半径;(2)根据垂径定理确定等量关系,求直线方程;(3)利用向量加法几何意义建立等量关系,根据圆中弦长范围建立不等式,求解即得参数取值范围.
试题解析:解:圆M的标准方程为,所以圆心M(6,7),半径为5,.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设.因为N与x轴相切,与圆M外切,
所以,于是圆N的半径为,从而,解得.
因此,圆N的标准方程为.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以……①
因为点Q在圆M上,所以…….②
将①代入②,得.
于是点既在圆M上,又在圆上,
从而圆与圆没有公共点,
所以解得.
因此,实数t的取值范围是.
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【题目】设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:
①;②若,则;③若,则.
则()___________;
()的解析式(用表示)___________.
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【题目】下列说法中正确的是__________.
①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
②“”是“”的充要条件;
③“,则, 全为” 的逆否命题是“若, 全不为,则”
④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真;
⑤“为假命题”是“为真命题”的充分不必要条件.
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【题目】双曲线的离心率为2,右焦点到它的一条渐近线的距离为 。
(1)求双曲线的标准方程;
(2)是否存在过点且与双曲线的右支角不同的两点的直线,当点满足时,使得点在直线上的射影点满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。
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【题目】已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且。
(Ⅰ)求抛物线的标准方程及实数的值;
(Ⅱ)直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若(为坐标原点)的面积为,求直线的方程.
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【题目】已知函数 (为实常数) .
(I)当时,求函数在上的最大值及相应的值;
(II)当时,讨论方程根的个数.
(III)若,且对任意的,都有,求
实数a的取值范围.
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