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已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线l1:x=-2的距离为d1,到点F(-1,0)的距离为d2,且
d2
d1
=
2
2

(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线l1:x=-2的垂线,对应的垂足分别为M、N,试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3)记S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点),问是否存在实数λ,使
S
2
2
S1S3
成立.若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设出P的坐标,利用已知条件列出方程求解求动点P所在曲线C的方程;
(2)利用直线l与椭圆的故选列出方程,求出两个坐标的关系,通过点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.
(3)利用弦长公式两点距离公式,求出S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点),使
S
2
2
S1S3
成立.求出λ的值即可.
解答:解 (1)设动点为P(x,y),依据题意,有
(x+1)2+y2
|x+2|
=
2
2
,化简得
x2
2
+y2=1
.              …(3分)
因此,动点P所在曲线C的方程是:
x2
2
+y2=1
.              …(4分)
(2)点F在以MN为直径的圆的外部.
理由:由题意可知,当过点F的直线l的斜率为0时,不合题意,故可设直线l:x=my-1,如图所示.                           (5分)
联立方程组
x2
2
+y2=1
x=my-1
,可化为(2+m2)y2-2my-1=0,
则点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足
y1+y2=
2m
2+m2
y1y2=-
1
2+m2
.                         (7分)
又AM⊥l1、BN⊥l1,可得点M(-2,y1)、N(-2,y2).
FM
=(-1,y1)
FN
=(-1,y2)
,则
FM
FN
=(-1,y1)•(-1,y2)=1+y1y2
=
1+m2
2+m2
>0
.(9分)
于是,∠MFN为锐角,即点F在以MN为直径的圆的外部.                 (10分)
(3)依据(2)可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-
4
2+m2
x1x2=(my1-1)(my2-1)=
2-2m2
2+m2

则  S1S3=
1
2
(x1+2)|y1|•
1
2
(x2+2)|y2|
=
1
4
1
2+m2
[x1x2+2(x1+x2)+4]
=
1
2
1+m2
(2+m2)2
S
2
2
=(
1
2
|y1-y2|•1)2
=
1
4
[(y1+y2)2-4y1y2]
=2
1+m2
(2+m2)2
.              (15分)
所以,
S
2
2
=4S1S3
,即存在实数λ=4使得结论成立.            (16分)
点评:本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系与直线与圆的位置关系的判断,三角形的面积公式的应用,向量数量积的应用,考查计算能力,转化思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线l1:x=-2的距离为d1,到点F(-1,0)的距离为d2,且
d2
d1
=
2
2

(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上),分别过A、B点作直线l1:x=-2的垂线,对应的垂足分别为M、N,试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);
(3)记S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的点),问是否存在实数λ,使S22=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
进一步思考问题:若上述问题中直线l1:x=-
a2
c
、点F(-c,0)、曲线C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,c=
a2-b2
)
,则使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不变.请给出你的判断
 
 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-
p
2
-1
(p是正常数)的距离为d1,到点F(
p
2
,0)
的距离为d2,且d1-d2=1.(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线l1:x=-
p
2
的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证=
FM
FN
=0

(3)记S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FEN(A、B、M、N是(2)中的点),λ=
S
2
2
S1S3
,求λ 的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-
p
2
-1
(p是正常数)的距离为d1,到点F(
p
2
,0)
的距离为d2,且d1-d2=1.
(1)求动点p所在曲线C的方程
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线l1:x=-
p
2
的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证:FM⊥FN.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年重庆市高三第五次月考理科数学 题型:解答题

已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线的距离为d1,到点F(– 1,0)的距离为d2,且

(1)    求动点P所在曲线C的方程;

(2)    直线过点F且与曲线C交于不同两点AB(点AB不在x轴上),分别过AB点作直线的垂线,对应的垂足分别为,试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);

(3)    记(AB是(2)中的点),问是否存在实数,使成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

 

 

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