Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=.

(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

(2)求证：A₁B⊥面AB₁C.

Answer 1

解析：如图过点B作BO⊥AC,垂足为点O，则BO⊥侧面ACC₁A₁，连结A₁O.

在Rt△A₁BO中，

A₁B=，BO=，

∴A₁O=，又AA₁=a，AO=，

∴△A₁AO为直角三角形.

∴A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC.

(1)∵A₁C₁∥AC，

∴∠BC₁A₁或其补角为异面直线AC与BC₁所成的角.

∵A₁O面ABC，AC⊥BO，

∴AC⊥A₁B，∴A₁C₁⊥A₁B.

在Rt△A₁BC₁中，A₁B=a，A₁C₁=a，

∴BC₁=，∴cos∠BC₁A₁=.

∴异面直线AC与BC₁所成角的余弦值为.

(2)∵四边形ABB₁A₁为菱形，∴AB₁⊥A₁B.

又A₁B⊥AC，

∴A₁B⊥面AB₁C.