Question

是否存在圆锥曲线C，同时满足下列两个条件：

         （1）原点O及直线为曲线C的焦点和相应的准线；

         （2）被直线垂直平分的直线截曲线C所得的弦长恰好为。

         若存在，求出曲线C的方程，若不存在，说明理由。

                  

Answer 1

解：设存在符合题设的圆锥曲线C，此曲线离心率为（>0），P（x，y）是曲线C上任一点。

         由圆锥曲线的定义有

         化简整理得，                ①

         设曲线C被直线垂直平分，其弦长为的弦所在直线方程为,这弦的两个端点

         将代入①式中，消去y得

                                ②

         由题意0，

        

         由此可解得AB的中点D的坐标为

        

         由条件（2），中点D在，于是有：

        

         解③，代入④得。

         经检验符合题意，因此符合条件的曲线C存在，其方程为。

解析:

这是一道开放性的题目，探求满足上述两个条件的圆锥曲线是否存在，本题的难点是题目没有具体的给出圆锥曲线的形状，由条件（1）给出焦点和相应的准线，因此可考虑用圆锥曲线统一定义，设离心率为，通过计算，推理，探求的存在性。