Question

已知数列{x_n}中，x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，
（1）求数列{y_n}的通项公式；
（2）证明：数列{x_n}为等比数列；
（3）设数列{x_n}的前n项和为S_n，若对一切正整数n，S_n＜a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，能够推导出y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）由y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n，知

xn+1

xn

=

26-n

27-n

=

1

2

，由此能够证明数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn=

26(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn=128，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，
∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，
∵等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，
∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．
y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n
∴

xn+1

xn

=

26-n

27-n

=

1

2

，
∴数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn=

26(1- 1 2n )

1- 1 2

=128(1-

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn=128，
故所求a的取值范围为a≥128．

点评：本题考查通项公式的求法、等比数列的证明和实数a的取值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．