Question

【题目】农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，在棱长为的正四面体中，其高为顶点和底面中心的连线段，易求；则该正四面体的体积易求，该六面体的体积可求. 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，该球与相切，过球心作，则就是球半径，利用等面积法可求半径，则球的表面积可求.

解：该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图，

在棱长为的正四面体中，取中点为，连接，，

作平面，垂足在上，

则，，，

则该正四面体的体积为，

该六面体的体积.

当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，

且该球与相切，过球心作，则就是球半径，

因为，所以球半径，

所以该球表面积的最大值为：.

故答案为：；.