(本题满分15分)
已知实数满足且,设函数
(Ⅰ) 当时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ) 若函数 ()的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于.
(Ⅰ) 解: 当a=2时,f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x |
(-,1) |
1 |
(1,2) |
2 |
(2,+) |
f ′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f (x) |
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
所以,f (x)极小值为f (2)=. …………………………………5分
(Ⅱ) 解:f ′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g ′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1) 当 1<a≤2时,
f (x)的极小值点x=a,则g(x)的极小值点也为x=a,
所以p(a)=0,
即3a2+(2b+3)a-1=0,
即b=,
此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b
=-3+ =.
由于1<a≤2,
故 ≤2--=.………………………………10分
(2) 当0<a<1时,
f (x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,不妨设x2<0<x1,
所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,
故b>-.
此时g(x)的极大值点x=x1,
有 g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1
<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)
<-(x12-2x1)-4x1+1
=-x12+x1+1
=-(x1-)2+1+ (0<x1<1)
≤
<.
综上所述,g(x)的极大值小于等于. ……………………15分
【解析】略
科目:高中数学 来源:2010-2011年江苏省如皋市五校高二下学期期中考试理科数学 题型:解答题
((本题满分15分)
某有奖销售将商品的售价提高120元后允许顾客有3次抽奖的机会,每次抽奖的方法是在已经设置并打开了程序的电脑上按“Enter”键,电脑将随机产生一个 1~6的整数数作为号码,若该号码是3的倍数则顾客获奖,每次中奖的奖金为100元,运用所学的知识说明这样的活动对商家是否有利。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省招生适应性考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分15分)设函数.
(Ⅰ)若函数在上单调递增,在上单调递减,求实数的最大值;
(Ⅱ)若对任意的,都成立,求实数的取值范围.
注:为自然对数的底数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期初摸底文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线与曲线相切
1)求b的值;
2)若方程在上恰有两个不等的实数根,求
①m的取值范围;
②比较的大小
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期中考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知抛物线:(),焦点为,直线交抛物线于、两点,是线段的中点,
过作轴的垂线交抛物线于点,
(1)若抛物线上有一点到焦点的距离为,求此时的值;
(2)是否存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省六校高三第一次联考文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设,若在上不单调且仅在处取得最大值,求的取值范围.
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