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a
b
是两个互相垂直的单位向量,已知向量
m
=k
a
+
b
n
=
a
+k
b
,(k>0)
且向量
m
n
夹角θ的余弦值为f(k)

(1)求f(k)的表达式.
(2)求f(k)的值域及夹角θ=60°时的k值.
(3)在(1)的条件下解关于k的不等式:f[f(k)]<
-3ak2+(a2+4)k
k4+6k2+1
,(a∈R)
分析:(1)由
a
b
|
a
|=|
b
|=1
可求
m
n
=2k,|
m
|
2
=(k
a
+
b
)
2
=1+k2
|
n
|
2
=
1+k2
,代入f(k)=cosθ=
m
n
|
m
| |
n
|
可求θ∈[0,
1
2
π)

(2)由1+2k2≥2k可得f(k)∈(0,1]结合θ=60°可知cosθ=
2k
1+k2
=
1
2
,可求k
(3)由(1)可得f[f(k)]=
2k
1+k2
1+(
2k
1+k2
)
2
=
4k(1+k2)
1+6k2+k4
-3ak2+(4+a2)k
1+6k2+k4
?4k(k+a)(k-
a
4
)<0
,k>0,分类讨论:分a>0时,当a=0时,当a<0时,三种情况分别求解
解答:解:(1)∵
a
b
a
b
=0

|
a
|=|
b
|=1

m
n
=(k
a
+
b
)(
a
+k
b
)
=k
a
2
+(1+k2 )
a
b
+k
b
2
=2k
|
m
|
2
=(k
a
+
b
)
2
=1+k2
,同理可得|
n
|
2
=
1+k2
  
∴f(k)=cosθ=
m
n
|
m
| |
n
|
=
2k
1+k2
(k>0)…(4分)
(2)因为1+2k2≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f(k)∈(0,1],
当θ=60°时,cosθ=
2k
1+k2
=
1
2

k=2±
3
  (8分)
(3)由(1)可得f[f(k)]=f(
2k
1+k2
)=
2k
1+k2
1+(
2k
1+k2
)
2
=
4k(1+k2)
1+6k2+k4
-3ak2+(4+a2)k
1+6k2+k4

?4k3+4k<-3ak2+(4+a2)k
?k(4k2+3ak-a2)<0
?4k(k+a)(k-
a
4
)<0

∵k>0
当a>0时,解可得0<k<
a
4

当a=0时,解为k<0且k>0,此时k不存在
当a<0时,解为0<k<-a
综上所述:当a>0时,解集为{k|0<k<
a
4
};
当a=0时,解集为∅
当a<0时,解集为{k|0<k<-a}(12分)
点评:本题主要考查了向量的数量积的应用,向量夹角公式的应用,及不等式的求解,属于综合试题
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科目:高中数学 来源: 题型:

ab是两个互相垂直的单位向量,问当k为整数时,向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°?证明你的结论.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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b
是两个互相垂直的单位向量,已知向量
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=k
a
+
b
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=
a
+k
b
,(k>0)
且向量
m
n
夹角θ的余弦值为f(k)

(1)求f(k)的表达式.
(2)求f(k)的值域及夹角θ=60°时的k值.
(3)在(1)的条件下解关于k的不等式:f[f(k)]<
-3ak2+(a2+4)k
k4+6k2+1
,(a∈R)

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