Question

设f（x）=

lnx

x-1

+1，当x∈（1，+∞）时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求导，再构造函数，再求导，判断出函数f（x）的单调性，再根据洛必达法则求出极限，继而得到函数的最值，问题得以解决

解答： 解：∵f（x）=

lnx

x-1

+1，
∴f′（x）=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

，
令g（x）=1-

1

x

-lnx，
∴g′（x）=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（1）=1-1=0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，
根据洛必达法则，
∴

lim

x→1

lnx

x-1

=

lim

x→1

1

x

=1，

lim

x→∞

lnx

x-1

=

lim

x→∞

1

x

=0，
∴f（x）的最大值为1+1=2，最小值为0+1=1，
故函数的值域为（1，2）

点评：本题的考点是利用导数求函数的单调性，以及洛必达法则求函数的极限，属于中档题