Question

【题目】如图,矩形和梯形所在平面互相垂直， ， , .

（Ⅰ）求证： 平面;

（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为60°．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．

（II）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．

试题解析：

（1）证明：在中，，，，，

所以.又因为在中，，所以.

由已知条件知，平面，所以.

又，所以平面

（2）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．

设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．从而

设平面AEF的法向量为，由得，

取x=1，则，即.

不妨设平面EFCB的法向量为，

由条件，得，

解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．