Question

【题目】已知：已知函数f（x）=﹣ +2ax，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；
（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣ ，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f′（x）=﹣x2+x+2a，

曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a﹣2，

2a﹣2=﹣6，a=﹣2

（Ⅱ）当a=1时， ，f′（x）=﹣x2+x+2=﹣（x+1）（x﹣2）

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调减		单调增		单调减

所以，f（x）的极大值为 ，f（x）的极小值为 ．

（Ⅲ）令f′（x）=0，得 ， ，

f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），f（4）＜f（1），

所以f（x）在[1，4]上的最小值为 ，解得：a=1，x2=2．

故f（x）在[1，4]上的最大值为

【解析】1、求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率-6，即可求出实数a的值。
2、通过a=1利用导函数为0，判断导数符号即可求得f（x）的极值。
3、根据题意可得当0＜a＜2时利用导函数的单调性通过f（x）在[1，4]上的最小值为-即可求a进而可得f（x）在[1，4]上的最大值。