Question

已知sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，θ∈(0，

π

4

)
（1）求θ的值；
（2）求函数f（x）=sin（x-θ）+cosx在x∈[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）通过sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，求出sin2θ，结合θ的范围求出θ的值．
（2）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．

解答：解：（1）由sinθ+cosθ=

1+ 3

2

，
两边平方得：1+sin2θ=

4+2 3

4

，解得sin2θ=

3

2

又θ∈(0，

π

4

)，所以2θ∈(0，

π

2

)，此时2θ=

π

3

，θ=

π

6

（2）f(x)=sin(x-θ)+cosx=sin(x-

π

6

)+cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+cosx=sin(x+

π

6

)
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
而x∈[0，π]，所以x∈[0，

π

3

]，
故所求的单调增区间为[0，

π

3

]

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，考查计算能力．