Question

设函数f（x）=x³+

b

2

x²+cx．
（1）若b=2，c=-1，求y=|f（x）|的单调增区间；
（2）若b=-6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx对一切x∈[0，2]恒成立，求k的最小值及h（c）的表达式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，即可求y=|f（x）|的单调增区间；
（2）分类讨论，分离参数求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）b=2，c=-1时，f（x）=x³+x²-x，则f′（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），
∴函数在（-∞，-1）、（

1

3

，+∞）上单调递增，在（-1，

1

3

）上单调递减，
又f（x）=0，可得x=0或x=

-1± 5

2

，
∴y=|f（x）|的单调增区间为（-∞，-1）、（0，

1

3

）、（

-1+ 5

2

，+∞）；
（2）b=-6，g（x）=|f（x）|=|x³-3x²+cx|，
g（x）≤kx，x=0时恒成立；
x≠0时，k≥|x²-3x+c|=|（x-1.5）²-2.25+c|，对一切x∈（0，2]恒成立，
∴△=9-4c≤0，即c≥2.25时，k≥c；
△＞0，即c＜2.25，

9

8

＜c＜2.25时，k≥c；
c≤

9

8

时，k≥2.25-c，
∴c＞

9

8

时，k的最小值为c，h（c）=c；c≤

9

8

时，k的最小值为2.25-c，h（c）=2.25-c．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．