Question

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的内切圆的圆心M在直线x=2上移动．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）某同学经研究作出判断，曲线C在P点处的切线恒过点M，试问：其判断是否正确？若正确，请给出证明；否则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为三角形PAB的内切圆的圆心M在直线x=2上移动，以及A，B点坐标，可判断P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去顶点），利用双曲线的定义可求出点P的轨迹C的方程．
（2）因为点M是三角形PAB的内切圆的圆心，若曲线C在P点处的切线恒过点M，则PQ平分∠APB，所以只需证明PQ平分∠APB即可，利用成比例线段可得．
解答：解：（1）设P（x，y）（y≠0），三角形PAB的内切圆M与PA、PB、AB的切点分别为E、F、H
则|PE|=|PF|，|AE|=|AH|，|BF|=|BH|．
∴|PA|-|PB|=|AE|-|BF|=|AH|-|BH|=5-1=4
∴P点的轨迹C为以A、B为焦点的双曲线的右支（除去顶点）
∴曲线C的方程为
（2）此同学的判断是正确的
设P点处曲线的切线交x轴于点Q，下证：PQ平分∠APB．
不妨设P（x，y）（y＞0）．
∵当x＞2，y＞0时，曲线C满足∴，
则曲线C在点P处的切线的斜率
∴直线PQ的方程为．
取y=0，
得∴
∴
又∴，即PQ平分∠PAB
∴PQ恒过点M，得证
点评：本题考查了椭圆定义的应用，以及恒过定点问题，做题时应认真分析，找到突破口．