Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（1）求EF和平面ABCD所成的角α；
（2）求异面直线EF与BD所成的角β．

Answer 1

分析：（1）由已知可得EA⊥平面ABCD，连结AF，则∠EFA=α，设出PA=AD=2，通过解三角形求出α的正切值，则角α可求；
（2）在平面ABCD中，过F作FG∥BD，得到∠EFG为异面直线EF与BD所成的角β，解直角三角形求出边长后再利用余弦定理求角β的余弦值，则角β可求．

解答：解：（1）如图，
∵PA⊥平面ABCD，E∈PA，∴EA⊥平面ABCD．
∴EF和平面ABCD所成的角α即为∠EFA．
设PA=AD=2，∵E、F分别是线段PA、CD的中点，
则EA=DF=1，在Rt△ADF中，AF=

AD2+DF2

=

22+12

=

5

．
在Rt△EAF中，tanα=tan∠EFA=

EA

AF

=

1

5

=

5

5

．
所以α=arctan

5

5

；
（2）在平面ABCD中，过F作FG∥BD，∴G为BC中点．
异面直线EF与BD所成的角β即为∠EFG．
连结EG，
在Rt△ABG中，AG=

AB2+BG2

=

22+12

=

5

．
在Rt△EAG中，EG=

EA2+AG2

=

12+( 5 )2

=

6

．
同理求得EF=

6

．
在Rt△GCF中，GF=

12+12

=

2

．
则在△EFG中，cosβ=cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2•EF•FG

=

( 6 )2+( 2 )2-( 6 )2

2× 6 × 2

=

3

6

．
所以β=arccos

3

6

．

点评：本题考查了直线和平面所成的角，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象和思维能力，解答的关键是角的找取，训练了利用反三角函数表示角，是中档题．