Question

15． 已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，E为CC₁的中点，F为B₁C₁的中点．
（1）求证；BD⊥A₁E；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）求证：平面A₁BF⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）连AC，A₁C₁，根据正方体的几何特征，可得AA₁⊥BD，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACC₁A₁，再根据线面垂直的性质，即可得到BD⊥A₁E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO，结合（1）的结论，可得∠A₁EO即为二面角A₁-BD-E的平面角，解三角形A₁EO，可以求出为二面角A₁-BD-E为直二面角，即平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）与（2）同法，即可证明结论．

解答 证明：（1）连AC，A₁C₁．∵正方体AC₁中，AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA₁=A．∴BD⊥平面ACC₁A₁ 且E∈CC₁．∴A₁E?平面ACC₁A₁．∴BD⊥A₁E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A₁O，EO．
由（1）得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁O，BD⊥EO．
∴∠A₁OE即为二面角A₁-BD-E的平面角．
∵AB=a，E为CC₁中点，∴A₁O=$\sqrt{6}$a，EO=$\sqrt{3}$a，A₁E=3a．
∴A₁O²+OE²=A₁E²．∴A₁O⊥OE．∴∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面BDE．
（3）取A₁B的中点M，连接DM，F₁M，则∠F₁MD即为二面角F-A₁B-D的平面角．
∴DM=$\sqrt{6}$a，F₁M=$\sqrt{3}$a，DF=3a，
∴F₁M²+DM²=DF²．∴DM⊥FM．∴∠F₁MD=90°．
∴平面A₁BF⊥平面A₁BD．

点评 本题考查的知识点是线面垂直的性质，平面与平面垂直的判定．熟练掌握空间线线、线面及面面之间位置关系的转化是关键．