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14.已知向量$\overrightarrow a=({1,-1})$,$\overrightarrow b=({1,2})$,向量$\overrightarrow c$满足$({\overrightarrow c+\overrightarrow b})⊥\overrightarrow a$,$({\overrightarrow c-\overrightarrow a})∥\overrightarrow b$,则$\overrightarrow c$等于(  )
A.(1,0)B.(2,1)C.(0,-1)D.$({\frac{3}{2},\frac{1}{2}})$

分析 由题设条件知,本题是求向量$\overrightarrow{c}$的坐标的题,题设中已经给出了与向量$\overrightarrow{c}$有关系的一平行一垂直的条件.故可设出向量$\overrightarrow{c}$的坐标,将平行关系与垂直关系转化成关于向量$\overrightarrow{c}$的坐标的方程求其坐标.

解答 解:设$\overrightarrow{c}$=(x,y),向量$\overrightarrow a=({1,-1})$,$\overrightarrow b=({1,2})$,则$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$=(x+1,y+2),
又($\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow{b}$)$⊥\overrightarrow{a}$,
∴-(y+2)+x+1=0.即x-y-1=0  ①
$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$=(x-1,y+1)
又($\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$)$∥\overrightarrow{b}$,
∴y+1=2x-2.即2x-y-3=0  ②
解①②得x=2,y=1,$\overrightarrow c$=(2,1)
故选:B.

点评 本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件,考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力.

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