Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（{1，-1}）$，$\overrightarrow b=（{1，2}）$，向量$\overrightarrow c$满足$（{\overrightarrow c+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）∥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow c$等于（　　）

• A． （1，0）
• B． （2，1）
• C． （0，-1）
• D． $（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 由题设条件知，本题是求向量$\overrightarrow{c}$的坐标的题，题设中已经给出了与向量$\overrightarrow{c}$有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量$\overrightarrow{c}$的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量$\overrightarrow{c}$的坐标的方程求其坐标．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（x，y），向量$\overrightarrow a=（{1，-1}）$，$\overrightarrow b=（{1，2}）$，则$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$=（x+1，y+2），
又（$\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{a}$，
∴-（y+2）+x+1=0．即x-y-1=0  ①
$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$=（x-1，y+1）
又（$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$）$∥\overrightarrow{b}$，
∴y+1=2x-2．即2x-y-3=0  ②
解①②得x=2，y=1，$\overrightarrow c$=（2，1）
故选：B．

点评 本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力．