Question

15．设A（n）表示正整数n的个位数，a_n=A（n²）-A（n），A为数列{a_n}的前202项和，函数f（x）=e^x-e+1，若函数g（x）满足f[g（x）-$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$]=1，且b_n=g（n）（n∈N^*），则数列{b_n}的前n项和为n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上的增函数，求得g（x）的解析式，即有b_n=g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和．

解答 解：n的个位数为1时有：a_n=A（n²）-A（n）=0，
n的个位数为2时有：a_n=A（n²）-A（n）=4-2=2，
n的个位数为3时有：a_n=A（n²）-A（n）=9-3=6，
n的个位数为4时有：a_n=A（n²）-A（n）=6-4=2，
n的个位数为5时有：a_n=A（n²）-A（n）=5-5=0，
n的个位数为6时有：a_n=A（n²）-A（n）=6-6=0，
n的个位数为7时有：a_n=A（n²）-A（n）=9-7=2，
n的个位数为8时有：a_n=A（n²）-A（n）=4-8=-4，
n的个位数为9时有：a_n=A（n²）-A（n）=1-9=-8，
n的个位数为0时有：a_n=A（n²）-A（n）=0-0=0，
每10个一循环，这10个数的和为：0，
202÷10=20余2，余下两个数为：a₂₀₁=0，a₂₀₂=2，
∴数列{a_n}的前202项和等于：a₂₀₁+a₂₀₂=0+2=2，
即有A=2．
函数函数f（x）=e^x-e+1为R上的增函数，且f（1）=1，
f[g（x）-$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$]=1=f（1），
可得g（x）=1+$\frac{Ax-1}{{A}^{x}}$=1+$\frac{2x-1}{{2}^{x}}$，
则g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
即有b_n=g（n）=1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和为n+[1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
可令S=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和为n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
故答案为：n+3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题主要考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，同时考查归纳思想和函数思想，运用不完全归纳和函数的单调性是解题的关键，属于难题．